Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．

Answer 1

（1）由函数f（x）=

x-a(x≥a)

-x+a (x＜a) 可知，函数f（x）的图象关于直线x=a对称．

当a=0时，函数f（x）=|x|，显然是一个偶函数；

当a≠0时，取特殊值：f（a）=0，f（-a）=2|a|≠0．

即f（-x） ≠

f(x)

-f(x) ，

故函数f（x）=|x-a|是非奇非偶函数．

（2）若a=2，且g ²（x）f（x）=4x

可得：x ²|x-2|=x，得 x=0 或 x|x-2|=1；

因此得 x=0 或 x=1 或 x=1+

2 ，

故所求的集合为{0，1，1+

2 }．

（3）对于 a＞0，F（x）=g（x）-f（x）=ax-|x-a|=

(a+1)x-a (0＜x＜a)

(a-1)x+a(x≥a)

若a＞1时，函数F（x）在区间（0，a），[a，+∞）上递增，无最大值；

若a=1时，F（x）=

2x- 1(x＜1)

1(x≥1) 有最大值为1

若0＜a＜1时，F（x）在区间（0，a）上递增，在[a，+∞）上递减，F（x）有最大值 F（a）=a ²；

综上所述得，当0＜a≤1时，函数F（x）有最大值．