我认为答案已经足够好了，使用的都是处理有理标准型的基本技术，也很简洁了，没必要舍近求远。
如果一定要换一种解法，那么可以这样：
首先证明Frobenius块的极小多项式就是特征多项式(方法和(2)一样)，然后从复数域上看Frobenius块的每个特征值都仅有一个Jordan块。对于Jordan块而言，与之可交换的矩阵必是它的多项式，然后用插值多项式可以把不同Jordan块的多项式统一起来。再利用F^k的第k条次对角线的结构推出系数。
本质其实是差不多的，不过绕得比较远，而且还做了域扩张(题目条件中的复数域可能就是为了降低讨论难度而设置的)。
你可以去查一下清华的答案，也许他们还有不同的做法。