Question

已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,且AA1=2,底面ABCD的边长均大于2,且∠DAB=

Answer 1

题目所要求的似乎是“三棱锥 P-D1MN ”,也就是三棱锥 D1-PMN 的体积；

因为 D1 是四棱柱上底面上的点,故其到下底面 ABCD 的距离 H 与 A' 点相同,而 P、M、N 三点均在三棱柱下底面上,所以 H 即是三棱锥 D1-PMN 的 PMN 面上的高,欲求三棱锥最大体积,只要求出△PMN 的最大面积即得；

如左图,设∠PAB=α,则：

S△PAB=(PAsinα)*(PAcosα)/2=2²*sinαcosα/2=sin2α；

S△PAD=sin[2(45°-α)]=cos2α；

S△MAN=(AM*AN*sin45°)/2=[(PAS*sinα)*PA*sin(45°-α)]/2=2sinαsin(45°-α)；

S△PMN=S△PAB+S△PAD-S△MAN=sin2α+cos2α-2sinαsin(45°-α)

=(√2/2)+√3sin(2α+φ)≤(√2/2)+√3；

max V(P-D1MN)=max V(D1-PMN)≤(H*maxS△PMN)/3=2*[(√2/2)+√3]/3=(√2+2√3)/3；