Question

已知数列{an}，Sn是前n项的和，且满足a1=2，对一切n∈N*都有Sn+1=3Sn+n2+2成立，设bn=an+n．

Answer 1

（1）∵a₁=2，对一切n∈N^*都有S_n+1=3S_n+n²+2成立，

令n=1，可得 2+a₂=3×2+1+2，求得a₂=7．

（2）证明：∵S_n+1=3S_n+n²+2，∴S_n=3S_n-1+（n-1）²+2，

∴两式相见可得a_n+1=3a_n+2n-1，即a_n+1+（n+1）=3a_n+2n-1+（n+1）=3（a_n+n） ①．

又b_n=a_n+n，∴由①可得 b_n+1=3（a_n+1+n）=3b_n，∴数列{b_n}是公比为3的等比数列．

（3）由于b₁=a₁+1=3，故b_n=3×3^n-1=3ⁿ，

∴

1

b1+

1

b3+…+

1

b2n?1=

1/3]+[1

33+

1

35+…+

1

32n?1=

1/3[1?(

1

9)n]

1?

1

9]=[3/8]-[3/8]×(

1

9)n，

∴

lim

n→∞（[1

b1+

1

b3+…+

1

b2n?1）=

lim

n→∞ （

3/8]-[3/8]×(

1

9)n ）=[3/8]．