Question

椭圆X轴上有一定点M,这个点与椭圆上一点P的距离有个最小值,此时P在哪里?

Answer 1

解设M（m, 0 ） P(x,y) MP距离平方=y^2+(x--m)^2 椭圆方程 (x/a)^2+(y/b)^2=1

y^2=b^2--(bx/a)^2 MP^2=b^2--(bx/a)^2+(x-m)^2=[1--(b/a)^2]x^2--2mx+b^2+m^2

因为 [1--(b/a)^2]大于0 所以MP有极小值,

因为 (a>x>--a) 即 a>m/[1--(b/a)^2]>--a (b^2--a^2)/a--a) y=+-√[b^2--(bx/a)^2] 时 MP最小.

最小MP=√[b^2+m^2--a^2m^2/(a^2--b^2)]

当m(a^--b^2)/a P是左顶点或右顶点,也就是说,M在这些区域里,顶点与M点的距离最小.