设点B和点C的坐标为(x1,y1)和(x2,y2),并设直线BC的方程为:
y = kx + b 。
将其代入椭圆方程分别消去y或x,可得
(2k² + 1)x² + 4kbx + 2b² - 4 = 0 ;或(2k² + 1)y² - 2by + b² - 4k² = 0。
根据韦达定理,得
x1·x2 = (2b² - 4) / (2k² + 1) ............................①;
y1 + y2 = 2b/ (2k² + 1) ............................②;
y1·y2 = (b² - 4k²) / (2k² + 1) ............................③。
由已知AB⊥AC,得
[(y2 - √2)/x2]·[(y1 - √2)/x1] = -1 ,即 y1y2 - √2(y1 + y2) + x1·x2 + 2 = 0 。
将①②③代入上式,并整理可得
3b² - 2√2b - 2 = 0 。 解得:b = √2,或b = -√2/3 。
而当且仅当点B或点C与点A重合的时候,b = √2,即直线BC不恒过点(0,√2)。
所以,直线BC过定点(0,-√2/3) 。