如图,点A是椭圆x^2/4+y^2/2=1的上顶点,过点A的动直线l1,l2分别交椭圆于点B,C,且l1⊥l2,证明直线

1个回答

  • 设点B和点C的坐标为(x1,y1)和(x2,y2),并设直线BC的方程为:

    y = kx + b 。

    将其代入椭圆方程分别消去y或x,可得

    (2k² + 1)x² + 4kbx + 2b² - 4 = 0 ;或(2k² + 1)y² - 2by + b² - 4k² = 0。

    根据韦达定理,得

    x1·x2 = (2b² - 4) / (2k² + 1) ............................①;

    y1 + y2 = 2b/ (2k² + 1) ............................②;

    y1·y2 = (b² - 4k²) / (2k² + 1) ............................③。

    由已知AB⊥AC,得

    [(y2 - √2)/x2]·[(y1 - √2)/x1] = -1 ,即 y1y2 - √2(y1 + y2) + x1·x2 + 2 = 0 。

    将①②③代入上式,并整理可得

    3b² - 2√2b - 2 = 0 。 解得:b = √2,或b = -√2/3 。

    而当且仅当点B或点C与点A重合的时候,b = √2,即直线BC不恒过点(0,√2)。

    所以,直线BC过定点(0,-√2/3) 。