Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．

Answer 1

解题思路：（I）欲证A₁B∥平面ADC₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A₁B与平面ADC₁内一直线平行，连接A₁C交C₁A与点O，连接DO，根据中位线定理可知BO∥A₁B，而A₁B⊄平面ADC₁，BO⊂平面ADC₁，满足定理所需条件；

（II）由（I）可知C₁A⊥A₁C，A₁B₁⊥C₁A而A₁B₁∩A₁C=A₁，根据线面垂直的判定定理可知C₁A⊥平面A₁B₁C，而B₁C⊂平面A₁B₁C，根据线面垂直的性质可知C₁A⊥B₁C；

（Ⅲ）连接A₁C，A₁C∩AC₁=O，连接OB₁，证明C₁B₁O为直线B₁C₁与平面A₁B₁C所成的角，从而可得结论．

（I）证明：连接A₁C交C₁A与点O，连接DO

∵ACC₁A₁均为正方形∴点O为A₁C的中点

而D为BC中点∴BO∥A₁B

而A₁B⊄平面ADC₁，BO⊂平面ADC₁，

∴A₁B∥平面ADC₁；

（II）证明：由（I）可知C₁A⊥A₁C，而AB⊥平面ACC₁A₁，

而C₁A⊂平面ACC₁A₁，则AB⊥C₁A，而A₁B₁∥AB

∴A₁B₁⊥C₁A而A₁B₁∩A₁C=A₁，

∴C₁A⊥平面A₁B₁C，而B₁C⊂平面A₁B₁C

∴C₁A⊥B₁C．

（Ⅲ）连接A₁C，A₁C∩AC₁=O，连接OB₁，

∵ACC₁A₁为正方形，∠BAC=90°

∴AC₁⊥A₁C，AC₁⊥A₁B₁，

∴AC₁⊥平面A₁B₁C

∴∠C₁B₁O为直线B₁C₁与平面A₁B₁C所成的角

∵C₁O=[1/2]C₁A=[1/2]C₁B₁
∴∠C₁B₁O=30°．

点评：

本题考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的性质和点到平面的距离，同时考查了空间想象能力、运算求解的能力、以及转化与化归的思想，属于中档题．