(2012•通辽)如图,在平面直角坐标系中,将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2)、点B(1

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  • 解题思路:(1)作CE⊥x轴于点E,根据四边形ABCD为正方形,得到Rt△AOB≌Rt△CEA,因此OA=BE=2,OB=CE=1,据此可求出C点坐标;

    (2)然后将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式.

    (3)可以AB为边在抛物线的左侧作正方形AQPB,过Q作QE⊥OA于E,PG⊥x轴于G,可证△QEA≌△BGP≌△BAO,据此可求出P,Q的坐标,然后将两点坐标代入抛物线的解析式中即可判断出P、Q是否在抛物线上.

    (1)作CE⊥x轴于点E,

    ∵四边形ABCD为正方形,

    ∴∠ABO+∠CBE=90°,

    ∵∠OAB+∠OBA=90°,

    ∴∠OAB=∠EBC

    ∴Rt△AOB≌Rt△CEB,

    ∵A(0,2)、点B(1,0),

    ∴AO=2,BO=1

    得OE=2+1=3,CE=1

    ∴C点坐标为(3,1);

    (2)∵抛物线经过点C,

    ∴1=a×32-a×3-2,

    ∴a=[1/2],

    ∴抛物线的解析式为y=[1/2]x2-[1/2]x-2;

    (3)在抛物线上存在点P、Q,使四边形ABQP是正方形.

    以AB为边在AB的左侧作正方形ABPQ,过Q作QE⊥OA于E,PG⊥x轴于G,可证△QEA≌△BGP≌△BAO,

    ∴PE=BG=AO=2,AE=QG=BO=1,

    ∴Q点坐标为(-2,1),P点坐标为(-1,-1).

    由(1)抛物线y=[1/2]x2-[1/2]x-2,

    当x=-2时,y=1;当x=-1时,y=-1.

    ∴P、Q在抛物线上.

    故在抛物线上存在点Q(-2,1)、P(-1,-1),使四边形ABQP是正方形.

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、正方形的判定、全等三角形的判定和性质等知识点.综合性强,涉及的知识点多,难度较大.