Question

如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H．则以下命题中，错误的命题是（　　）

Answer 1

解题思路：首先，判断三棱锥 A-BA₁D为正三棱锥，然后，得到△BA₁D为正三角形，得到H为A在平面A₁BD内的射影，然后，根据平面A₁BD与平面B₁CD₁平行，得到选项B正确，最后，结合线面角和对称性求解．

∵AB=AA₁=AD，

BA₁=BD=A₁D，

∴三棱锥 A-BA₁D为正三棱锥，

∴点H是△A₁BD的垂心；

故选项A正确；

对于选项B：

∵平面A₁BD与平面B₁CD₁平行，

∵AH⊥平面A₁BD，

∵平面A₁BD⊥平面BC₁D，

∴AH垂直平面CB₁D₁，

选项B正确；

根据正方体的对称性得到

AH的延长线经过C₁，

∴选项D正确；

对于选项C，

∵AA₁∥BB₁，

∴∠A₁AH就是直线AH和BB₁所成角，

在直角三角形AHA₁中，

∵AA₁=1，A1H＝

2

3×

3

2×

2＝

6

3，

∴sin∠A1AH＝

6

3，

所以选项C错误，

故选C．

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题重点考查空间中点线面的位置关系，属于中档题．