Question

已知非齐次线性方程组 X1+X2+X3+X4=-1 4X1+3X2+5X3-X4=-1 aX1+X2+3X3+bX4=1

Answer 1

证:设β1,β2,β3是非齐次线性方程组的解

则 β3-β1,β3-β2 是其导出组的线性无关的解

所以 4-r(A) >= 2

所以 r(A)=2.

综上有 r(A) = 2.

增广矩阵 =

1 1 1 1 -1

4 3 5 -1 -1

a 1 3 b 1

r2-4r1,r3-ar1

1 1 1 1 -1

0 -1 1 -5 3

0 1-a 3-a b-a 1+a

r1+r2,r3+(1-a)r2

1 0 2 -4 2

0 -1 1 -5 3

0 0 4-2a b+4a-5 4-2a

因为 r(A)=2,所以 a=2,b=-3.

此时,增广矩阵化为

1 0 2 -4 2

0 1 -1 5 -3

0 0 0 0 0

方程组的通解为:(2,-3,0,0)'+c1(-2,1,1,0)'+c2(4,-5,0,1)'.