Question

已知定义域为R的函数 f(x)= 1- 2 x 2 x+1 +a 是奇函数．

Answer 1

（1）由f（x）是奇函数得，f（1）=-f（-1），

即

1-2

4+a =-

1-

1

2

1+a ，解得a=2，

（2）∵f（t ²-2t）+f（2t ²-k）＜0，

∴f（t ²-2t）＜-f（2t ²-k），

∵f（x）为奇函数，

∴f（t ²-2t）＜f（-2t ²+k）

由（1）得，

f(x)=

1- 2 x

2 x+1 +2 =

-( 2 x +1)+2

2( 2 x +1) =-

1

2 +

1

2 x +1 ，

∴f（x）在定义域内为单调递减函数，

∴t ²-2t＞-2t ²+k，即3t ²-2t-k＞0恒成立，

∴△=4+12k＜0，解得 k＜-

1

3 ，

故k的取值范围是 (-∞，-

1

3 ) ．