Question

已知函数f（x）=e x （e是自然对数的底数）的图象为曲线C 1 ，函数g（x）=ax（a≠0）的图象为曲线C 2 ．

Answer 1

（1）曲线C ₁与C ₂没有公共点，

即：e ^x-ax=0无解．

设F（x）=e ^x-ax，

∴F′（x）=e ^x-a，

显然要使曲线C ₁与C ₂没有公共点，

所以a＞0，

由F′（x）=0，

∴x=lna，且F（x）=e ^x-ax的减区间是：（-∞，lna），增区间是：（lna，+∞），

当x=lna时，F（x） _min=F（lna）=a-alna，

由a-alna＞0，

∴0＜a＜e．

综上：A=（0，e）…（4分）

（2）∵A=（0，e），a∈A，

∴a∈（0，e），

∵曲线C ₁：f（x）=e ^x，曲线C ₂：g（x）=ax（a≠0），

平移曲线C ₂得到曲线C ₃，使得曲线C ₃与曲线C ₁相交于不同的两点，P ₁（x ₁，y ₁），P ₂（x ₂，y ₂），

∴曲线C ₃的斜率k=a=

y 2 - y 1

x 2 - x 1 =

e x 2 - e x 1

x 2 - x 1 ，

∴ a=

e x 2 - e x 1

x 2 - x 1 ．…（6分）

（3）设x ₁＜x ₂， f / (

x 1 + x 2

2 )= e

x 1 + x 2

2 ， a- f / (

x 1 + x 2

2 )=

e x 2 - e x 1

x 2 - x 1 - e

x 1 + x 2

2 = e x 1 (

e x 2 - x 1 -1

x 2 - x 1 - e

x 2 - x 1

2 )

∵ e x 1 ＞0 ，

以下只需求

e x 2 - x 1 -1

x 2 - x 1 - e

x 2 - x 1

2 的正负．

令t=x ₂-x ₁（t＞0）

∵

e x 2 - x 1 -1

x 2 - x 1 - e

x 2 - x 1

2 =

e t -1

t - e

t

2 =

1

t ( e t -t e

t

2 -1) ，

∵

1

t ＞0 ，以下只需求 e t -t e

t

2 -1 的正负

设

t

2 =k(k＞0) ，

∴ e t -t e

t

2 -1 =（e ^k） ²-2ke ^k-1，

令φ（k）=（e ^k） ²-2ke ^k-1（k＞0），

φ′（k）=2（e ^k） ²-2e ^k-2ke ^k=2e ^k（e ^k-k-1）（k＞0），

设ω（k）=e ^k-k-1（k＞0），

∴ω′（k）=e ^k-1（k＞0），

∴ω′（k）＞0，

∴ω（k）单调增，

∴ω（k）=e ^k-k-1＞ω（0）=0，

∴φ′（k）＞0，

∴φ（k）单调增，

即：φ（k）=（e ^k） ²-2ke ^k-1＞φ（0）=0

∴ a- f / (

x 1 + x 2

2 )＞0 ，

∴ a＞ f / (

x 1 + x 2

2 ) …（14分）