Question

[必做题]已知整数n≥4，集合M={1，2，3，…n}的所有3个元素的子集记为A1，A2，…，AC．（1）当n=5时，求

Answer 1

解题思路：（1）由题意可知集合A中的元素，组成集合A的子集的元素，出现的概率相等，求出每个元素出现的次数，即可求出所有元素的和．

（2）若m_i为A_i中的最小元素，则应有1≤m_i≤n-2，m_i∈Z，若1为某个子集的最小元素，则这样的子集个数2为某个子集的最小元素，则这个集合中，必不再有1，另外两元素取自剩余的n-2个数字中，有

C

2

n−2

个，…，以n-2为最小元素的子集有

C

2

2

个，利用组合数性质可求

（1）当n=5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有个，所以含有数字1的几何有6个．同理含2，3，4，5的子集也各有6个，

于是所求元素之和为（1+2+3+4+5）×6=90

（2）证明：不难得到1≤m_i≤n-2，m_i∈Z，并且以1为最小元素的子集有个，以2为最小元素的子集有

C2n−2个，以3为最小元素的子集有

C2n−3，…以n-2为最小元素的子集有

C22个

∴p_n=m₁+m₂+…+m_c=1×

C2n−1+2

C2n−2+…+(n−2)

C22

=(n−2)

C22+(n−3)

C23+…+

C2n−1

=

C22+（n-3）（

C22+

C23）+（n-4）

C24+…+

C2n−1

=

C22+(n−3)(

C33+

C23)+(n−4)

C24+…

+C2n−1

=

C22+

C34+（n-3）（

C24+

C34）+…+

C2n−1

=

C

点评：

本题考点： 排列、组合的实际应用；元素与集合关系的判断；数列的求和．

考点点评： 本题考查了子集的概念，组合的概念及性质，分类讨论的思想方法，考查推理、计算能力．两题中得出含有相关数字出现的次数是关键．