解题思路：（Ⅰ） 要求函数的最小值，需要求出导函数并令其等于零得到x=1，然后分区间x＜1和x＞1，讨论函数的增减性来判断函数的极值，得到函数的最小值即可．
（Ⅱ）由（1）知f（x） 在x=1 取得最小值，从而由ex≥ex，当x＞0 时x-1≥lnx，进而可知，令
x−1＝
1
t
得[1/t≥ln(1+
1
t
)＝ln
1+t
t]，故可得证；
（Ⅲ）设
F(x)＝ln(x)−g(x)＝
1
2
x
2
−elnx
，原问题转化为研究此函数的单调性问题，利用导数知识解决．
（Ⅰ）∵f'（x）=ex-e 令f'（x）=ex-e=0 得x=1
当x＞1 时，f'（x）＞0，当x＜1 时，f'（x）＜0．
所以函数f（x） 在（-∞，1）上递增所以f（x） 的最小值为f（1）=0 （3分）
（Ⅱ） 证明：由（1）知f（x） 在x=1 取得最小值，
所以f（x）≥f（1），即ex≥ex 当x＞0 时由ex≥ex 得x≥1+lnx，x-1≥lnx，
当且仅当x=1 时等号成立．
令x−1＝
1
t 得[1/t≥ln(1+
1
t)＝ln
1+t
t，1＞ln2，
1
2＞ln
3
2，
1
3＞ln
4
3] …[1/n＞ln
n+1
n]
将上式相加得 1+
1
2+
1
3+…
1
n−1+
1
n＞ln(2×
3
2×
4
3×…x
n
n−1×
n+1
n)＝ln(n+1) …8分
（Ⅲ） 设F(x)＝ln(x)−g(x)＝
1
2x2−elnx 则F′(x)＝x−
e
x＝
x2−e
x＝
x2−e
x＝
(x+
e)(x−
e)
x
所以当0＜x＜
e 时F'（x）＜0，
当x＞
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查了对数函数的导数运算，研究函数的最值问题．考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．
1年前
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