Question

设函数y=f（x）=7x（7＞0，7≠1），y=f-1（x）表示f（x）的反函数，定义如框k表示的运算，若输入x=-2，

Answer 1

（1）由对任意实数α、β，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0，

可得恒有f（cos0）≤0，且f（2-sin[π/2]）≥0，即f（1）=[1/4]+b-[3/4]=0，可得b=[1/2]；

（2）由S_n=f（a_n）=[1/4]a_n²+[1/2]a_n-[3/4]（n∈N₊），可得S_n+1=[1/4]a_n+1²+[1/2]a_n+1-[3/4]

故a_n+1=S_n+1-S_n=[1/4]（a_n+1²-a_n²）+[1/2]（a_n+1-a_n），即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，

又{a_n}是正数数列，故a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，即数列{a_n}是等差数列．

又a₁=[1/4]a₁²+[1/2]a₁-[3/4]，且a₁＞0，可得a₁=3，故a_n=3+2（n-1）=2n+1；

（3）假设存在等比数列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂++a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2对于一切正整数n都成立，

令n=1，2，可得b₁=2，b₂=4，故{b_n}的公比为2，从而b_n=2×2^n-1=2ⁿ．

令S_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）2ⁿ⇒S_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2

故a₁b₁+a₂b₂++a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2对于一切正整数n都成立．

（4）

cn＝

1

1+an⇒cn＝(

1

1+an)2＝

1

(1+an)2T_n

=

n

i＝1