Question

证 2^(n+1) > n^2如题,证 2^(n+1) > n^2n为任意自然数

Answer 1

用二项式定理极易得证.

用数学归纳法也很容易：

(1)当n=0时,左边=2,右边=0,不等式成立.

同理可证,当n=1,2,3时,不等式也成立.

(2)假设当n=k(k≥3为自然数)时,不等式成立,即 2^(k+1) > k^2,

则当n=k+1时,2^(k+2) =2*2^(k+1) > 2k^2= k^2+k^2≥ k^2+3k> k^2+2k+1=(k+1)^2,

即当n=k+1时不等式也成立.

综合(1)和(2),不等式2^(n+1) > n^2对一切自然数n都成立.