证明:如果存在正整数n,使得169是n^2+5n+16的约数,则可以表示为n^2+5n+16=169*k
n^2+5n+16-169k=0
令16-169k=m,则
n^2+5n+m=0
解方程得:
n=[-5±√(25-4m)]/2
因为n为正整数,所以
n=[-5+√(25-4m)]/2=[-5+√(25-4(16-169k)]/2
=[-5+√(676k-39)]/2
=[-5+√13(52k-3)]/2
当√13(52k-3)]为奇数时,n为正整数,此时
(52k-3)应当由4p+1个13组成,即
52k-3=13(4p+1)
52k-3=52p+13
52(k-p)=16
k-p不是整数,所以
不存在正整数n,使得169是n^2+5n+16的约数.