如图,等边三角形ABC的边长为3,P为BC边上的一点,且BP=1,D为AC上的一点,若∠APD=60度,则CD的长为

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  • 第一个问题:

    ∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,又AB=3、BP=1,

    ∴由余弦定理,有:AP^2=AB^2+BP^2-2AB×BPcos∠B=9+1-2×3×1×cos60°=7,

    ∴AP=√7.

    ∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC=AB=3,∴CP=BC-BP=3-1=2.

    由余弦定理,有:CP^2=AP^2+AC^2-2AP×ACcos∠CAP,

    ∴4=7+9-2×√7×3cos∠CAP,∴6√7cos∠CAP=12,∴cos∠CAP=2/√7.

    ∴sin∠CAP=√[1-(cos∠CAP)^2]=√(1-4/7)=√3/√7.

    又∠APD=60°.

    ∴sin∠ADP

    =sin(180°-∠APD-∠CAP)=sin(∠APD+∠CAP)=sin(60°+∠CAP)

    =sin60°cos∠CAP+cos60°sin∠CAP=(√3/2)×(2/√7)+(1/2)×(√3/√7)=3√3/(2√7).

    由正弦定理,有:AD/sin∠APD=AP/sin∠ADP,

    ∴AD=APsin∠APD/sin∠ADP=√7sin60°/[3√3/(2√7)]=7/3,

    ∴CD=AC-AD=3-7/3=2/3.

    第二个问题:

    ∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°,∴sin∠C=√3/2.

    S(△PDC)=(1/2)CP×CDsin∠C=(1/2)×2×(2/3)×(√3/2)=√3/3.