Question

数列{an}的前n项和记为Sn已知a1=1,an+1=n+2/n*Sn(n=1,2,3,…).求证：（1）数列{Sn/n

Answer 1

证明：

(1)

注意到：

a(n+1)=S(n+1)-S(n)

代入已知第二条式子得：

S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n

nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)

nS(n+1)=S(n)*(2n+2)

S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2

又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0

所以{S(n)/n}是等比数列

(2)

由(1)知,

{S(n)/n}是以1为首项,2为公比的等比数列.

所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)

即S(n)=n*2^(n-1) (*)

代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n得

a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n属于N)

即a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N且n>1)

又当n=1时上式也成立

所以a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N)

由(*)式得：

S(n+1)=(n+1)*2^n

=(n+1)*2^(n-2)*2^2

=(n+1)*2^(n-2)*4

对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n)