Question

若在一个三棱锥S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，则我们称这样的三棱锥为直角三棱锥（也有称三直三棱锥）．在下列关于直

Answer 1

解题思路：画出图形，结合图形，推导证明出①、②是否正确；

利用特殊值代入法，求出③、④中的值，从而判定它们是否正确．

如图所示，

对于①，∵SA、SB、SC两两互相垂直，∴SA⊥平面SBC．

设SD在平面SBC内部，且SD⊥BC，

由已知有：SD=

bc

b2+c2，h=SH=

a•SD

a2+SD2，

∴h²=

a2b2c2

a2b2+b2c2+c2a2，

即

1

h2=

1

a2+

1

b2+

1

c2，∴①正确；

对于②，设SA=a，SB=b，SC=c，

∵H为△ABC的垂心，∴AD⊥BC，

又∵SA、SB、SC两两垂直，

∴S₁=

1/2]ab，S₂=[1/2]bc，S₃=[1/2]ac，S₀=[1/2]BC•AD，

∴S₁²+S₂²+S₃²=[1/4]（ a²b²+b²c²+a²c²）=[1/4]a²（b²+c²）+[1/4]b²c²…①；

又∵在Rt△BSC中，SD⊥BC，

∴SB²•SC²=b²c²=SD²•BC²=SD²•（b²+c²）…②；

∴②代入①得：S₁²+S₂

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用；棱锥的结构特征．

考点点评： 本题考查了棱锥的结构特征的应用问题，解题时应画出图形，结合图形进行解答，适当地利用特殊值，可以化简解答过程，是难题．