（1）令g（x）=x 2+tx+1，对称轴方程为x=-
t
2 ，
∵x∈[0，2]，∴由对称轴x=-
t
2 与区间[0，2]的位置关系进行分类讨论：
①当-
t
2 ≤0，即t≥0时，g（x）min=g（0）=1，∴f（x）min=0．
②当0＜-
t
2 ＜2，即-4＜t＜0时，g（x）min=g（-
t
2 ）=1-
t 2
4 ，
考虑到g（x）＞0，所以-2＜t＜0，f（x）min=f（-
t
2 ）=lg（1-
t 2
4 ）；
③当-
t
2 ≥2，即t≤-4时，g（x）min=g（2）=5+2t，
考虑到g（x）＞0，∴f（x）没有最小值．
综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；
当t＞-2时，f（x） min=
lg(1-
t 2
4 )，-2＜t＜0
0，t≥0 ．
（2）假设存在．
由题设条件，得
a 2 +ta+1=a
b 2 +tb+1=b
a≠b ，
等价于x 2+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，
令h（x）=x 2+（t-1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点
∴
h(0)＞0
h(2)＞0
△＞0
0＜-
b
2a ＜2 ，即
1＞0
t＞-
3
2
(t-1 ) 2 -4＞0
0＜-
t-1
2 ＜2 ，
解得-
3
2 ＜t＜-1．
故实数t的取值范围是（-
3
2 ，-1）．