Question

设函数y=y（x）由方程exy=x+y所确定，求dy|x=0．

Answer 1

解题思路：由一阶微分形式的不变性，为了计算dy|x=0，只需计算′（0）；由方程exy=x-y可得，当x=0时，y=-1；由方程exy=x-y微分可得y′（x）的表达式，代入x=0，y（0）=-1即可得到y′（0）．

由方程e^xy=x-y可得，当x=0时，

e⁰ =0-y（0），

故y（0）=-e⁰ =-1．

由方程e^xy=x-y两边对x求导可得，

e^xy（xy′（x）+y（x））=1-y′（x）．

代入x=0，y（0）=-1可得，

y（0）=1-y′（0）．

从而，y′（0）=1-y（0）=2．

因此，dy|_x=0=y′（0）dx=2dx．

点评：

本题考点： 一阶微分形式的不变性．

考点点评： 本题主要考查了一阶微分形式的不变性以及隐函数的求导法则；题目的难度系数适中，需要仔细计算．该类题目的解题关键是正确求出导数的表达式；隐函数的求导是常考知识点，需要熟练掌握．