解题思路：设长为a，宽为b，高为h，则前面面积=ah，上面面积=ab，又因ah+ab=a（h+b）=108，因为a、b、h是连续的奇数，若a=9，则b+h=108÷9=12，12=7+5，即b=7，h=5；根据长方体的体积公式：v=abh，再把数据代入公式解答．
设长为a，宽为b，高为h，
则前面面积=ah，上面面积=ab，又因ah+ab=a（h+b）=108，
a、b、h是连续的奇数，若a=9，则b+h=108÷9=12，12=7+5，即b=7，h=5；
体积是：9×7×5=315（立方厘米）；
答：这个长方体的体积是315立方厘米．
故答案为：315．
点评：
本题考点： 长方体和正方体的体积．
考点点评： 解答此题的关键是依据题目条件确定出长、宽、高的值，再利用长方体的体积公式即可求解．