Question

已知椭圆C的两个焦点为F1（-3，0），F2（3，0），点M是椭圆C上的动点，且MF1▪MF2的最大值为25．

Answer 1

解题思路：（1）由椭圆的定义可知，MF₁+MF₂=2a，再由基本不等式求出MF₁•MF₂的最大值a²，再由a，b，c的关系，即可得到方程；

（2）令M（5cosα，4sinα），运用两点间的距离公式，化简三角函数，并配方结合余弦函数的值域，即可切得最小值．

（1）设椭圆方程为

x2

a2+

y2

b2=1（a＞b＞0），

则c=3，MF₁+MF₂=2a，MF₁•MF₂≤（

MF1+MF2

2）²=a²，

当且仅当MF₁=MF₂，取最大值a²，

则a²=25，b²=a²-c²=16．

则椭圆C的方程

x2

25+

y2

16=1．

（2）令M（5cosα，4sinα），由于N（2，0），

MN=

(5cosα−2)2+16sin2α=

9cos2α−20cosα+20

=

9(cosα−

10

9)2+

80

9，

由于[10/9]∉[-1，1]，

则cosα=1时，MN取最小值3．

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆的标准方程和定义，以及参数方程的运用，考查基本不等式的运用和三角函数的最值求法，属于中档题．