Question

已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）

Answer 1

解题思路：根据函数的条件，判断函数的周期，利用函数的奇偶性和周期性即可得到结论．

∵f（x+4）=-f（x），

∴f（x+8）=-f（x+4）=f（x），

即函数的周期是8，

且f（x+4）=-f（x）=f（-x），

则函数的对称轴为

x+4−x

2＝2，

作出函数f（x）的 简图，

若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，

则四个根分别关于x=2和x=-6对称，

不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄，

则x₁+x₂=-12，x₃+x₄=4，

则x₁+x₂+x₃+x₄=-12+4=-8，

故答案为：-8

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题主要考查方程根的应用，根据条件结合函数的周期性和奇偶性，利用数形结合是解决本题的关键．