Question

证明平面向量垂直已知点O是三角形ABC的外心,以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作

Answer 1

因为 点O是三角形ABC的外心,

所以 OA=OB=OC 即 平行四边形OADB是菱形

设对角线的交点是M 则OD⊥AB,DM=MO,BM=MA

分别以BA,OD为X轴,Y轴,M点位原点

则设点A(a,0),B(-a,0),D(0,b),O(0,-b),C(x1,y1),H(x2,y2)

因为|OA|=|OB|=|OC|

所以a^2+b^2=x^2+（y+b)^2 即x^2-a^2+y^2+2by=0

因为OD和CH平行且相等,所以设H（x,y-2b)

则向量AH=（x-a,y+2b),向量BC=(x+a,y)

向量AH×向量BC=x^2-a^2+y^2+2by=0

证毕.

（请结合图形来看）