Question

如图，抛物线y= 1 2 x 2 +mx+n交x轴于A、B两点，直线y=kx+b经过点A，与这条抛物线的对称轴交于点M（

Answer 1

（1）由题意知，抛物线顶点N的坐标为（1，-2），

故其函数关系式为y=

1

2 （x-1） ²-2=

1

2 x ²-x-

3

2 ；

（2）由

1

2 x ²-x-

3

2 =0，

得x=-1或3，即A（-1，0）、B（3，0）；

根据图象得：函数值y为负数时，自变量x的取值范围为-1＜x＜3；

（3）由（2）得：A（-1，0）、B（3，0）；

∵将A（-1，0）、M（1，2）代入y=kx+b中得：

-k+b=0

k+b=2 ，

解得：

k=1

b=1 ，

∴直线AC的函数关系式为y=x+1，

∴P坐标为（x，x+1），Q的坐标为（x，

1

2 x ²-x-

3

2 ），

∴PQ=（x+1）-（

1

2 x ²-x-

3

2 ）=-

1

2 x ²+2x+

5

2 =-

1

2 （x-2） ²+

9

2 ，

∵a=-

1

2 ＜0，-1≤x≤1.5，

∴当x=1.5时，PQ有最大值为

35

8 ，

即P点（1.5，2.5）时，PQ长有最大值为

35

8 ．