Question

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E为BB1的中点．

Answer 1

解题思路：（1）利用三角形的中位线性质，线面平行的判定定理．

（2）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥面BDB₁，从而证明AC⊥B₁D，同理可证B₁D⊥AD₁，进而可证；

（3）等体积法求三棱锥的体积，三棱锥D-D₁OC与三棱锥D₁-DOC的体积相等，D₁-DOC的高是D₁D的长，面积等于底面正方形面积的[1/4]，体积可求．

（Ⅰ）连接OE，在△B₁BD中，

∵E为BB₁的中点，O为BD的中点，

∴OE∥B₁D

又∵B₁D⊄平面AEC

∴直线B₁D∥平面AEC．（4分）

（Ⅱ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

∵B₁B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD

∴B₁B⊥AC．∵BD⊥AC

且BB₁∩BD=B

∴B₁D⊥AC

∴AC⊥B₁D

同理可证B₁D⊥AD₁

∵AC∩AD₁=A

∴B₁D⊥平面D₁AC．（9分）

（Ⅲ）VD−D1OC＝VD1−DOC＝

1

3•DD1•S△DOC＝

1

3×2×1＝

2

3．（14分）

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查线面平行、垂直的判定方法．