n>1时,
an=Sn-S(n-1)
=(n²+n)×3^n-[(n-1)²+n-1]×3^(n-1)
=(2n²+4n)×3^(n-1)
n=1时,
a1=S1=(1+1)×3=6,
(2+4)/1=6=a1,
因此,对于任意的自然数n,有:
an=(2n²+4n)×3^(n-1)..
an/Sn=(2n²+4n)×3^(n-1)/(n²+n)×3^n
=(2n²+4n)/(3n²+3n),
n→∞时 an/Sn→2/3..
an/n²=(2+4/n)×3^(n-1)>2×3^(n-1),
因此当n>1时,
a1/1²+a2/2²+…+an/n²
=6+a2/2²+…+an/n²
>6+2×[3^(2-1)+3^(3-1)+…+3^(n-1)]
=6+2×[3^1+3^2+…+3^(n-1)]
=6+2×(3^n-3)/2
=6+3^n-3
>3^n,
当n=1时,
a1/1²=6>3^1,
因此对于任意的自然数n,有:
a1/1²+a2/2²+…+an/n²>3^n