Question

求证：f(x)=\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}},最小值

Answer 1

f(x)=(x²+3)/√(x²+2)

=(x²+2+1)/√(x²+2)

=√(x²+2)+1/√(x²+2)

令f(x)=y>0 (因为分子,分母都大于0) √(x²+2)＝t,t≥√2

如果没学过导数,则:

y=t+1/t

ty=t^2+1

t^2-yt+1=0

以上方程在t≥√2时要有解,必须deta>=0,同时,必须偏大的一个解>=根2

即:

deta=y^2-4>=0

y>=2 .1 or y=根2 其中,y>0

(2根2-y)=3/根2=3(根2)/2.2

综合1,2式,得:y>=3根2/2