解题思路：（Ⅰ）令n等于1代入an=5sn+1中，即可求出首项a1，然后把n换为n+1，利用an=5sn+1表示出an+1，两个式子相减并利用Sn+1-Sn=an化简后即可得到
a
n+1
a
n
]的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可，因而可得出bn的通项公式；
（Ⅱ）由（I）知由bn=4+
5
(−4)n−1
，从而可证；
（Ⅲ）根据bn的通项公式，算出的前n项和为Rn，再计算出是否存在正整数k．
（Ⅰ）当n=1时，a1=5a1+1，∴a1＝−
1
4．又∵an=5Sn+1，an+1=5Sn+1+1
∴an+1-an=5an+1，即an+1＝−
1
4an，∴数列{an}成等比数列，其首项an+1＝−
1
4an
∴an＝(−
1
4)n，bn＝
4+(−
1
4)n
1−(−
1
4)n
（II）证明：由（I）知由bn=4+[5
(−4)n−1，∴b2k-1+b2k=8+
5
(−4)2k−1−1+
5
(−4)2k−1（-4）2k-1=8+
5/16k−1−
20
16k+4＝8−
15•16k−40
(16k−1)(16k+4)＜8
（Ⅲ）不存在正整数k，使得Rk≥4k成立．证明如下：
∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N*），∴Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-1+b2m）＜8m=4n
当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N*），∴Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-3+b2m-2）+b2m-1＜8m-4=4n
∴对于一切的正整数n，都有Rn＜4n，∴不存在正整数k，使得Rk≥4k成立．
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．
考点点评： 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求出，会确定一个数列为等比数列，考查数列递推式的求解及相关计算．是一道综合题．
1年前
8
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