解题思路:(1)由
a
n+1
=
a
2
n
+6
a
n
+6
,得
a
n+1
+3=(
a
n
+3
)
2
.
,代入Cn=log5(an+3)可得Cn+1=2Cn,由等比数列定义可证明;
(2)由等比数列通项公式可求得cn,根据Cn=log5(an+3)可求an;
(3)
b
n
=
1
a
n
−6
−
1
a
2
n
+6
a
n
=
1
a
n
−6
−
1
a
n+1
−6
,则
T
n
=
1
a
1
−6
−
1
a
2
−6
+
1
a
2
−6
−
1
a
3
−6
+…+
1
a
n
−6
−
1
a
n+1
−6
可求,由表达式可证;
(1)证明:由an+1=
a2n+6
a n+6,得
an+1+3=(an+3)2.,
∴log5(an+1+3)=2log5(an+3),即Cn+1=2Cn,
∴{Cn}是以2为公比的等比数列;
(2)又C1=log55=1,∴Cn=2n−1,即 log5(an+3)=2n−1,
∴an+3=52n−1.
故an=52n−1−3.
(3)证明:∵bn=
1
an−6−
1
a2n+6an=
1
an−6−
1
an+1−6,
∴Tn=
1
a1−6−
1
a2−6+
1
a2−6−
1
a3−6+…+
1
an−6−
1
an+1−6
=[1
a1−6−
1
an+1−6=-
1/4]-
1
52n−9.
又
点评:
本题考点: 数列的求和;等比数列的通项公式;等比关系的确定.
考点点评: 本题考查等比数列的通项公式、裂项求和,考查学生的运算求解能力.