Question

如图，正三棱锥P-ABC的所有棱长都为4.点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足DE=EF=3，DF=2的△DEF

Answer 1

解题思路：设PD=x，PE=y，PF=z，在三角形PDE和三角形PEF、三角形PDF中应用余弦定理得到x，y，z的方程组，求出解即可判断三角形DEF的个数．

设PD=x，PE=y，PF=z，则

∵DE=EF=3，DF=2，

∴由余弦定理得，x²+y²-2xy•[1/2]=9①

y²+z²-2yz•

1

2=9②

z²+x²-2zx•

1

2=4③

①-②得，x²-z²=xy-yz，

即（x+z）（x-z）=y（x-z），

（1）若x=z，则由③得，x=z=2，

由①得，y=1+

6，

（2）若x≠z，则y=x+z，

代入②，得，x²+z²+xz=9，

又x²+z²-zx=4，

解得，x=

5

2

2，z=

2

2或x=

2

2，z=

5

2

2；

故符合条件的△DEF的个数由3个．

故选：C．

点评：

本题考点： 棱锥的结构特征．

考点点评： 本题主要考查正四面体的定义和通过方程组的解的个数，判断三角形的个数，体现数形结合的思想方法，是一道中档题．