Question

证明当x>0时,xln(x+根号下1+x^2)+1>根号下1+x^2

Answer 1

证明当x>0时,xln(x+√1+x^2)+1>√(1+x^2).

【证明】

设f(x)=1+xln[x+√(1+x^2)]-√（1+x^2）,x＞0,

则f'(x)=ln[x+√（1+x^2)]

+x[1+x/√（1+x^2)]/[x+√(1+x^2)]

-x/√（1+x^2)

=ln[x+√（1+x^2)]>0,

∴f(x)在定义域上递增,∴f(x)>f(0)=0,

∴1+xln[x+√(1+x^2)]>√（1+x^2）.