猜想:AP="BP+PC" ------------------------------1分
(1)证明:延长BP至E,使PE=PC,联结CE
∵∠BPC=120°
∴∠CPE=60°,又PE=PC
∴△CPE为等边三角形
∴CP=PE=CE,∠PCE=60°
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC,∠BCA=60°
∴∠ACB=∠PCE,
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP
即:∠ACP=∠BCE
∴△ACP≌△BCE
∴AP=BE-------------------------2分
∵BE=BP+PE
∴AP="BP+PC" --------------------------------------------- 3分
(2)方法一:
在AD外侧作等边△AB′D --------------------- 4分
则点P在三角形ADB′外
∵∠APD=120°∴由(1)得PB′=AP+PD
在△PB′C中,有PB′+PC>CB′,
∴PA+PD+PC>CB′ ------------------------------------ 5分
∵△AB′D、△ABC是等边三角形
∴AC=AB,AB′=AD,
∠BAC=∠DA B′=60°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD
即:∠BAD=∠CAB′
∴△AB′C≌△ADB
∴C B′="BD" -------------------------------------- 6分
∴PA+PD+PC>BD ----------------------------------- 7分
方法二:延长DP到M使PM=PA,联结AM、BM
∵∠APD=120°,
∴△APM是等边三角形, -----------------------------4分
∴AM=AP,∠PAM=60°
∴DM="PD+PA" ------------------------------5分
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC,∠BAC=60°
∴△AMB≌△APC
∴BM="PC" -------------------------------------------6分
在△BDM中,有DM + BM>BD,
∴PA+PD+PC>BD ----------------------------------------
略