如图,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC=∠ACD=90°∠EAC=60°,AB=AC=AE=2.

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  • 解题思路:(Ⅰ)由题意及图形取AB的中点F,AC的中点M,得到四边形EMCD为矩形,利用线面平行的判定定理证得线面平行;

    (Ⅱ)由题意利用二面角的定义得到二面角的平面角,然后在三角形中解出即可;

    (Ⅲ)三棱锥C-BDE的体积三棱锥B-CDE的体积,由此可得结论.

    (Ⅰ)线段BC的中点就是满足条件的点P.证明如下:

    取AB的中点F连接DP、PF、EF,则FP∥AC,FP=[1/2]AC,

    取AC的中点M,连接EM、EC,

    ∵AE=AC且∠EAC=60°,∴△EAC是正三角形,∴EM⊥AC.

    ∴四边形EMCD为矩形,∴ED=MC=[1/2]AC.

    又∵ED∥AC,∴ED∥FP且ED=FP,

    ∴四边形EFPD是平行四边形,∴DP∥EF,

    ∵EF⊂平面EAB,DP⊄平面EAB,

    ∴DP∥平面EAB;

    (Ⅱ)过B作AC的平行线l,过C作l的垂线交l于G,连接DG,

    ∵ED∥AC,∴ED∥l,l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱.

    ∵平面EAC⊥平面ABC,DC⊥AC,∴DC⊥平面ABC,

    又∵l⊂平面ABC,∴l⊥平面DGC,∴l⊥DG,

    ∴∠DGC是所求二面角的平面角.

    设AB=AC=AE=2a,则CD=

    3a,GC=2a,

    ∴GD=

    GC2+CD2=

    7a,

    ∴cosθ=cos∠DGC=[GC/GD]=

    2

    7

    7;

    (Ⅲ)由(Ⅰ)知,ED=1,DC=

    3,∴S△CDE=

    1

    2×1×

    3=

    点评:

    本题考点: 二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的性质.

    考点点评: 本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系,二面角的概念、求法等知识,考查三棱锥体积的计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.