解题思路:(Ⅰ)由题意及图形取AB的中点F,AC的中点M,得到四边形EMCD为矩形,利用线面平行的判定定理证得线面平行;
(Ⅱ)由题意利用二面角的定义得到二面角的平面角,然后在三角形中解出即可;
(Ⅲ)三棱锥C-BDE的体积三棱锥B-CDE的体积,由此可得结论.
(Ⅰ)线段BC的中点就是满足条件的点P.证明如下:
取AB的中点F连接DP、PF、EF,则FP∥AC,FP=[1/2]AC,
取AC的中点M,连接EM、EC,
∵AE=AC且∠EAC=60°,∴△EAC是正三角形,∴EM⊥AC.
∴四边形EMCD为矩形,∴ED=MC=[1/2]AC.
又∵ED∥AC,∴ED∥FP且ED=FP,
∴四边形EFPD是平行四边形,∴DP∥EF,
∵EF⊂平面EAB,DP⊄平面EAB,
∴DP∥平面EAB;
(Ⅱ)过B作AC的平行线l,过C作l的垂线交l于G,连接DG,
∵ED∥AC,∴ED∥l,l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱.
∵平面EAC⊥平面ABC,DC⊥AC,∴DC⊥平面ABC,
又∵l⊂平面ABC,∴l⊥平面DGC,∴l⊥DG,
∴∠DGC是所求二面角的平面角.
设AB=AC=AE=2a,则CD=
3a,GC=2a,
∴GD=
GC2+CD2=
7a,
∴cosθ=cos∠DGC=[GC/GD]=
2
7
7;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,ED=1,DC=
3,∴S△CDE=
1
2×1×
3=
点评:
本题考点: 二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的性质.
考点点评: 本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系,二面角的概念、求法等知识,考查三棱锥体积的计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.