若方程 ax^2+bx+c=0 没有两个实数根,那么它的判别式必为 b^2 =4ac,(一式）,由a+b+c 0,a 0,可推得 a^2+ab+ac 0,由上式得 4ac (-4)*(a^2+ab),(二式）,由一,二式得 (-4)*(a^2+ab)-b^2 0,就是（2a+b)^2 0,解得 a (-b/2),（三式）,由三式和 a+b+c 0,有
（-b/2)+b+c=b/2+c 0,于是 c (-b/2),(四式）,由三式和 a 0 知 b 0,由 b 0 和四式知 c 0,所以 4*（三式）*（四式）得：4ac 4*(-b/2)*(-b/2)=b^2,(五式）,一式和五式相矛盾,那么判别式 b^2 =4ac 不成立,这就反过来说明方程必有两个实数解,那么 b^2 4ac （六式）成立.由六式知 c 0,由二式和六式得：b^2-((-4)*(a^2+ab)) 8ac 0,经整理：b^2-4a^2 4ab,解得 (-b)/a 2,也是 A (-b)/2,代入六式,得 c (-b)/2.设方程的两个实根为 X1,X2,那么 X1 *X2 = c/a 0,X1,X2 同号,又由 X1 + X2 =(-b)/a 2 知 X1,X2 都大于零.由根与系数的关系有：(X1+X2)/ X1 * X2 =1/X1 +1/X2 =(-b)/ c 2,如果 X1,X2 都大于 1 ,那么 1/X1 +1/X2 2,所以 X1,X2 中必有一个小于 1 .