Question

已知扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的任意一点，当P为弧AB的中点时，S△OAP+S△OBP的值最大．现有半径为R的

Answer 1

解题思路：利用三角形的面积计算公式和数学归纳法即可得出．

S△OMP1+S△OP1P2+…+S△OP2n−1N=

1/2R2(sin∠MOP1+sin∠P1OP2+…+sin∠P2n−1ON)，

设∠MOP₁=θ₁，∠P₁OP₂=θ₂，…，∠P2n−1ON＝θ2n．则θ1+θ2+…+θ2n＝π．

∵0＜θ_i＜π，∴sinθ_i＞0，

猜想S△OMP1+S△OP1P2+…+S△OP2n−1N的最大值为2n−1R2sin

π

2n]．

即[1/2R2(sinθ1+sinθ2+…+sinθn)≤2nR2sin

π

2n]⇔sinθ₁+sinθ₂+…+sinθ2n≤2nsin

π

2n（θ1+θ2+…+θ2n＝π）．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，由扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的任意一点，当P为弧AB的中点时，S_△OAP+S_△OBP的值最大，可知成立．

（2）假设当n=k（k∈N^*）时，不等式成立，即sinθ₁+sinθ₂+…+sinθ2k≤2ksin

π

2k．成立．（θ₁+θ₂+…+θ2k＝π，θ_i＞0）

则当n=k+1时，左边=即sinθ₁+sinθ₂+…+sinθ2k+sinθ2k+1+…+sinθ2k+1

∵sinθi+sinθi+1＝2sin

θi+θi+1

2cos

θi−θi+1

2≤2sin

θi+θi+1

2，当且仅当θ_i=θ_i+1时取等号．

∴左边≤2sin

θ1+θ2

2+2sin

θ3+θ4

2+…+2sin

θ2k+1−1+θ2k+1

2

≤2•2ksin

π

2k+1=2k+1sin

π

2k+1=右边，当且仅当θ_i=θ_i+1（i∈N^*，且1≤i≤2^k+1-1）时取等号．

即不等式对于∀n∈N^*都成立．

故答案为2n−1R2sin

π

2n．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 熟练掌握三角形的面积计算公式和数学归纳法是解题的关键．