Question

不定积分 x乘根号下4-x^2为什么我不能用换元法,u=4-x^2 然后把根号外的x刚好可以消掉

Answer 1

用第一类换元法,不是第二类换元法,

原式=（-1/2）∫√（4-x^2)d(4-x^2)

=（-1/2）（4-x^2)^(1/2+1)/(1/2+1)+C

=（-1/3）（4-x^2)^(3/2)+C.

关键是微分(-1/2)d(4-x^2)=xdx,第一类换元积分就是凑积分,有一定的技巧.

这样设u=4-x^2,根号外的x就没有了,

也可三角代换,较麻烦,

设x=2sint,

t=arcsin(x/2),

cost=√（4-x^2)/2,

√[4-4(sint)^2]=2cost,

dx=2costdt,

原式=∫（2sint)*2cost*2costdt

=8∫(cost)^2*sintdt

=-8∫（cost)^2d(cost)

=-8(cost)^3/3+C

=-8(4-x^2)^(3/2)/24+C

=-(1/3)(4-x^2)^(3/2)+C.