如图,在平面直角坐标系中,已知A(8,0),B(0,6),⊙M经过原点O及点A、B.

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  • (1)∵∠AOB=90°,∴AB为⊙M的直径。

    ∵A(8,0),B(0,6),∴OA=8,OB=6。

    ∴⊙M的半径为5;圆心M的坐标为((4,3)。

    (2)如图,设点B作⊙M的切线l交x轴于C,

    ∵BC与⊙M相切,AB为直径,∴AB⊥BC。

    ∴∠ABC=90°,∴∠CBO+∠ABO=90°。

    ∵∠BAO+∠ABO=90°,∴∠BAO=∠CBO。

    ∴Rt△ABO∽Rt△BCO。

    ,即

    ,解得

    ∴C点坐标为(

    ,0)。

    设直线BC的解析式为y=kx+b,

    把B(0,6)、C点(

    ,0)分别代入得

    ,解得

    ∴直线l的解析式为y=

    x+6。

    (3)如图,作ND⊥x轴,连接AE,

    ∵∠BOA的平分线交AB于点N,∴△NOD为等腰直角三角形。

    ∴ND=OD。∴ND∥OB。∴△ADN∽△AOB。

    ∴ND:OB=AD:AO,∴ND:6=(8﹣ND):8,解得ND=

    ∴OD=

    ,ON=

    ND=

    ∴N点坐标为(

    )。

    ∵△ADN∽△AOB,∴ND:OB=AN:AB,即

    :6=AN:10,解得AN=

    ∴BN=10﹣

    =

    ∵∠OBA=OEA,∠BOE=∠BAE,∴△BON∽△EAN。

    ∴BN:NE=ON:AN,即

    :NE=

    ,解得NE=

    ∴OE=ON+NE=

    +

    =

    (1)根据圆周角定理∠AOB=90°得AB为⊙M的直径,则可得到线段AB的中点即点M的坐标,然后利用勾股定理计算出AB=10,则可确定⊙M的半径为5。

    (2)点B作⊙M的切线l交x轴于C,由切线的性质得AB⊥BC,由等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO,根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO,所以

    ,可解得

    ,则C点坐标为(

    ,0),最后运用待定系数法确定l的解析式。

    (3)作ND⊥x轴,连接AE,易得△NOD为等腰直角三角形,所以ND=OD,ON=

    ND,再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB,则ND:OB=AD:AO,即ND:6=(8﹣ND):8,解得ND=

    ,所以OD=

    ,ON=

    ,即可确定N点坐标;由于△ADN∽△AOB,利用ND:OB=AN:AB,可求得AN=

    ,则BN=10﹣

    =

    ,然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA,∠BOE=∠BAE,所以△BON∽△EAN,再利用相似比可求出ME,最后由OE=ON+NE计算即可。