(1)∵∠AOB=90°,∴AB为⊙M的直径。
∵A(8,0),B(0,6),∴OA=8,OB=6。
∴
。
∴⊙M的半径为5;圆心M的坐标为((4,3)。
(2)如图,设点B作⊙M的切线l交x轴于C,
∵BC与⊙M相切,AB为直径,∴AB⊥BC。
∴∠ABC=90°,∴∠CBO+∠ABO=90°。
∵∠BAO+∠ABO=90°,∴∠BAO=∠CBO。
∴Rt△ABO∽Rt△BCO。
∴
,即
,解得
。
∴C点坐标为(
,0)。
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(0,6)、C点(
,0)分别代入得
,解得
。
∴直线l的解析式为y=
x+6。
(3)如图,作ND⊥x轴,连接AE,
∵∠BOA的平分线交AB于点N,∴△NOD为等腰直角三角形。
∴ND=OD。∴ND∥OB。∴△ADN∽△AOB。
∴ND:OB=AD:AO,∴ND:6=(8﹣ND):8,解得ND=
。
∴OD=
,ON=
ND=
。
∴N点坐标为(
,
)。
∵△ADN∽△AOB,∴ND:OB=AN:AB,即
:6=AN:10,解得AN=
。
∴BN=10﹣
=
。
∵∠OBA=OEA,∠BOE=∠BAE,∴△BON∽△EAN。
∴BN:NE=ON:AN,即
:NE=
:
,解得NE=
。
∴OE=ON+NE=
+
=
。
(1)根据圆周角定理∠AOB=90°得AB为⊙M的直径,则可得到线段AB的中点即点M的坐标,然后利用勾股定理计算出AB=10,则可确定⊙M的半径为5。
(2)点B作⊙M的切线l交x轴于C,由切线的性质得AB⊥BC,由等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO,根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO,所以
,可解得
,则C点坐标为(
,0),最后运用待定系数法确定l的解析式。
(3)作ND⊥x轴,连接AE,易得△NOD为等腰直角三角形,所以ND=OD,ON=
ND,再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB,则ND:OB=AD:AO,即ND:6=(8﹣ND):8,解得ND=
,所以OD=
,ON=
,即可确定N点坐标;由于△ADN∽△AOB,利用ND:OB=AN:AB,可求得AN=
,则BN=10﹣
=
,然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA,∠BOE=∠BAE,所以△BON∽△EAN,再利用相似比可求出ME,最后由OE=ON+NE计算即可。