Question

已知椭圆C： （a>b>0）的长轴长为4。

Answer 1

已知椭圆C：

（a>b>0）的长轴长为4。

（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆C的焦点坐标；

（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为k _PM、k _PN，当k _PM·k _PN=-

时，求椭圆的方程。

（1）由

得

又2a=4，

∴a=2，a ²=4，b ²=2，c ²=a ²-b ²=2，

∴两个焦点坐标为（

，0），（-

，0） 。

（2）由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，不妨设：M（x ₀，y ₀），N（-x ₀，-y ₀），P（x，y），

由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有

两式相减得：

由题意可知直线PM、PN的斜率存在

则

则

由a=2得b=1，

故所求椭圆的方程为

。