Question

如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC上一动点（不与B、C重合),在AC上取E点,使∠ADE=4

Answer 1

∠BAC=90°,AB=AC,

∴∠B=∠C=45°①

外角∠ADC=∠BAD+∠B,

又∠ADC=∠EDC+∠ADE,

但∠B=∠ADE=45°

∴∠BAD=∠EDC ②

由①②可知:△ABD∽△DCE ③

BD=x,AE=y,AB=AC=1,

∴EC=1-y,BC=√2,

∴DC=√2-x,

由③ EC/BD=DC/AB

即 (1-y)/x=(√2-x)/1

∴ y=x²-√2x+1 ④

△ADE是等腰三角形,分情况讨论：

若AD=DE,则结合③可知:△ABD≌△DCE,

此时DC=AB=1,所以x=BD=√2-1,

代入④得 AE=(√2-1)²-√2(√2-1)+1=2-√2.

若DE=AE,∵∠ADE=45°∴DE⊥AC,进而AD⊥BC,

此时x=BD=BC/2=√2/2,

代入④得 AE=(√2/2)²-√2(√2/2)+1=1/2.

若AD=AE,∵∠ADE=45°∴AD⊥AC,D与B重合,与题给条件矛盾.此时无解.