Question

求使关于x的二次方程（a+1）x2-（a2+1）x+2a3-6=0有整数根的所有整数a．

Answer 1

解题思路：由二次方程（a+1）x²-（a²+1）x+2a³-6=0有整数根的所有整数a，可知-2＜a＜2，把a值代入原方程讨论可得a=0，1时，原方程有整数根．

当a=-1时，原方程化为-2x-2-6=0，此时x=-4；

当a≠-1时，判别式△=（a²+1）²-4（a+1）（2a³-6）=-7a⁴-8a³+2a²+24a+25，

若a≤-2，则△=-a²（7a²+8a-2）+24（a+1）+1＜24（a+1）+1＜0，方程无根；

若a≥2，则△=-8a（a²-3）-a²（7a²-2）+25＜-a²（7a²-2）+25＜0，方程亦无根；

故-2＜a＜2，

又因为a为整数，则a只能取-1，0，1，而a≠-1，则a在0，1中取值：

当a=0时，方程可化为x²-x-6=0，解得x₁=3，x₂=-2；

当a=1时，方程可化为x²-x-2=0，解得x₁=2，x₂=-1．

综上所述，关于x的二次方程（a+1）x²-（a²+1）x+2a³-6=0，当a=0，1时，方程有整数根．

点评：

本题考点： 一元二次方程的整数根与有理根．

考点点评： 本题考查了一元二次方程的整数根和有理根，以及讨论在解题的重要性，同学们应熟练掌握．