解题思路:根据抛物线开口方向得到a<0,根据对称轴为直线x=-[b/2a]=1,即b=-2a,得到b>0,根据抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c>0,则有abc<0;根据抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;
利用对称性可得抛物线与x轴的另一个交点在点(2,0)和点(3,0)之间,于是得到方程ax2+bx+c=0的另一个根在2和3之间;把x=-1代入二次函数y=ax2+bx+c得到a-b+c<0,然后利于a=-[1/2]b,可变形得到2c<3b;利用二次函数最大值问题得到x=1时,函数值最大,最大值为a+b+c,则a+b+c>am2+mb+c(m≠1),整理后得到a十b>m(am+b).
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵对称轴为直线x=-[b/2a]=1,即b=-2a,
∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,所以①错误;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,所以②正确;
∵抛物线与x轴的一个交点在点(-1,0)和原点之间,而对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(2,0)和点(3,0)之间,
∴方程ax2+bx+c=0的另一个根在2和3之间,所以③正确;
∵x=-1时,y<0,
∴a-b+c<0,而a=-[1/2]b,
∴2c<3b,所以④正确;
∵x=1时,函数值最大,最大值为a+b+c,
∴a+b+c>am2+mb+c(m≠1),即a十b>m(am+b),所以⑤正确.
故选D.
点评:
本题考点: 二次函数图象与系数的关系.
考点点评: 本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系:当a<0,抛物线开口向下,函数有最大值;抛物线的对称轴为直线x=-[b/2a],顶点坐标为(-[b/2a],4ac-b24a);抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点.