有趣的雷霹数

生活中的数学不难发现，关键在于生活中我们要善于发现，留心观察，细心思考。这样才可能会发现生活中许许多多有趣的数学道理。正如我的一次发现——

那一天，我背起书包回家。回到家时，突然发现我的一张记着3025的纸被撕成了两半，成了30和25。我正抱怨：“这是谁干的缺德事？”时，突然发现一个有趣的现象:30+25=55，55*55=3025，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。这是为什么呢？还有没有其他的几个数符合这样的数？这种数有没有它的计算公式或规律？最小的这个数是多少？好奇心促使我做了一连串的试验，想了又想，头都想疼了，可是我依然百思不得其解。

第二天早晨，我带着一连串的疑问来到了学校，想问问数学老师。数学老师见了这个现象说：“这是雷劈数，又叫“卡普列加数”或“卡布列克怪数”，也叫“分和累乘再现数”，它的定义为：若正整数X（在n进位下）的平方可以分割为二个数字，而这二个数字相加后恰等于X，那么X就是（n进位下的）雷霹数。不过还有别的数需要你去请教电脑了！”

我中午回家查了电脑，发现雷霹数还有一个小故事呢！据说印度数学家卡普列加（Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 - 1986）在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半写着25。这时，他忽然发现30+25=55，55*55=3025，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。从此他就专门搜集这类数字。

求雷霹数的方法有两种，我就取简单的一种吧：设该数的前两位为x，后两位为y，根据定义，有(x + y)^2 = 100x + y即 x^2 + 2(y - 50)x + y^2 - y = 0。该方程的判别式D=4(2500 - 99y)必须是完全平方数，而y本身也必须是平方数的尾数，故可求得y等于1或25，从而求得四个结果2025，3025，9801和0001（舍去）。它的性质是一般而言，考察雷劈数时，一般不考虑分割后的一部分全部为0的情况（如10+0）。亦不考虑由0开始的数字（如0+1）。

最小的奇雷劈数是9^2 = 81。

最小的雷劈偶数是100:10+0=10 10²=100

如果M^2是雷劈数，那么(10...0 - M)^2也是雷劈数.证明：

设M^2是雷劈数，可以分割成x和y两部分，且M=x+y，y为n位数，则

M^2=10^n*x+y

(10^n-M)^2=10^(2n)-2M*10^n+M^2=10^(2n)-2M*10^n+10^n*x+y=10^(2n)-2M*10^n+10^n*(M-y)+y=10^n*(10^n-M-y)+y同样满足雷劈数方程。在二进制下，所有的完全数都是卡布列克数（同雷劈数）

我十分高兴，因为我又懂得了一个数学知识！还明白了生活中我们要善于发现，留心观察，细心思考！